Пример решения прямой и двойственной задачи симплекс методом. Симплексный метод решения злп Симплекс метод алгоритм решения c
Найти наибольшее значение функции
x 1 ≥ 0 x 2 ≥ 01. Свободные члены системы должны быть неотрицательными.
Данное условие выполнено.
2. Каждое ограничение системы должно представлять собой уравнение.
| x 1 + | 2 | x 2 | ≤ | 4 | ||
| x 1 | - | x 2 | ≥ | 1 | ||
| x 1 | + | x 2 | ≤ | 8 |
| x 1 + | 2 | x 2 | + | S 1 | = | 4 | |||||||||
| x 1 | - | x 2 | - | S 2 | = | 1 | |||||||||
| x 1 | + | x 2 | + | S 3 | = | 8 |
S 1 ≥ 0, S 2 ≥ 0, S 3 ≥ 0. Введенные переменные S 1 , S 2 , S 3 , называются балансовыми переменными.
3. Нахождение начального базиса и значения функции F, которое соответствует найденному начальному базису.
Что такое базис?
Переменная называется базисной для данного уравнения, если она входит в данное уравнение с коэффициентом один
и не входит в оставшиеся уравнения системы (при условии, что в правой части уравнения стоит неотрицательное число).
Если в каждом уравнении присутствует базисная переменная, тогда говорят, что в системе присутствует базис.
Переменные, которые не являются базисными, называются свободными.
В чем заключается идея симплекс метода?
Каждому базису соответствует единственное значение функции. Одно из них является наибольшим значением функции F.
Мы будем переходить от одного базиса к другому.
Следующий базис будем выбирать таким образом, чтобы получить значение функции F не меньше имеющегося.
Очевидно, количество возможных базисов для любой задачи число не очень большое.
Следовательно, рано или поздно, ответ будет получен.
Как осуществляется переход от одного базиса к другому?
Запись решения удобнее вести в виде таблиц. Каждая строка таблицы эквивалентна уравнению системы. Выделенная строка состоит из коэффициентов функции (см. таблицу ниже). Это позволяет не переписывать переменные каждый раз, что существенно экономит время.
B выделенной строке выбираем наибольший положительный коэффициент (можно выбрать любой положительный).
Это необходимо для того, чтобы получить значение функции F не меньше имеющегося.
Выбран столбец.
Для положительных коэффициентов выбранного столбца считаем отношение Θ и выбираем наименьшее значение.
Это необходимо для того, чтобы после преобразования столбец свободных членов остался неотрицательным.
Выбрана строка.
Определен элемент, который будет базисным. Далее считаем.
В нашей системе есть базис?
| x 1 + | 2 | x 2 | + | S 1 | = | 4 | |||||||||
| x 1 | - | x 2 | - | S 2 | = | 1 | |||||||||
| x 1 | + | x 2 | + | S 3 | = | 8 |
Базиса нет, т.е. мы не можем начать решение.
Придется его найти. Для этого решим вспомогательную задачу.
Добавим искусственную переменную в то уравнение, где нет базисной переменной.
| x 1 + | 2 | x 2 | + | S 1 | = | 4 | ||||||||||||
| x 1 | - | x 2 | - | S 2 | + | R 1 | = | 1 | ||||||||||
| x 1 | + | x 2 | + | S 3 | = | 8 |
R 1 ≥ 0. Введенная переменная R 1 , называется искусственной переменной.
Введем в рассмотрение функцию W и будем искать ее наименьшее значение.
Алгоритм нахождения наименьшего значения функции W имеет только одно отличие от алгоритма, рассмотренного выше.
| x 1 | x 2 | S 1 | S 2 | S 3 | R 1 | св. член | Θ |
| 1 | 2 | 1 | 0 | 0 | 0 | 4 | 4: 1 = 4 |
| 1 | -1 | 0 | -1 | 0 | 1 | 1 | 1: 1 = 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 8 | 8: 1 = 8 |
| -1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | W - 1 | |
| 0 | 3 | 1 | 1 | 0 | -1 | 3 | |
| 1 | -1 | 0 | -1 | 0 | 1 | 1 | |
| 0 | 2 | 0 | 1 | 1 | -1 | 7 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | W - 0 |
Приравниваем свободные переменные нулю. Устно находим значения базисных переменных. (см. таблицу)
Функция W выражена через свободные переменные. Поэтому значение функции W, для данного базиса, можно найти мгновенно. (см. выделенную строку таблицы)
| x 2 = 0 S 2 = 0 R 1 = 0 x 1 = 1 S 1 = 3 S 3 = 7 |
=> W - 0 = 0 => W = 0 |
Среди коэффициентов выделенной строки нет отрицательных. Следовательно, найдено наименьшее значение функции W.
Получен базис без использования искусственной переменной. Что и требовалось.
Столбец, соответствующий искусственной переменной можно вычеркнуть.
В итоге, наша система выглядит следующим образом:
| 3 | x 2 | + | S 1 | + | S 2 | = | 3 | |||||||||
| x 1 | - | x 2 | - | S 2 | = | 1 | ||||||||||
| 2 | x 2 | + | S 2 | + | S 3 | = | 7 |
| F | = | - | x 1 | + | 3 | x 2 |
|
|
Универсальный метод решения задач ЛП называется симплекс-методом. Применение этого метода и его наиболее часто встречающейся модификации - двухфазного симплекс-метода.
При графическом методе решения задач ЛП мы фактически из множества вершин, принадлежащих границе множества решений системы неравенств, выбрали такую вершину, в которой значение целевой функции достигало максимума (минимума). В случае двух переменных этот метод совершенно нагляден и позволяет быстро находить решение задачи.
Если в задаче три и более переменных, а в реальных экономических задачах как раз такая ситуация, трудно представить наглядно область решений системы ограничений. Такие задачи решаются с помощью симплекс-метода или методом последовательных улучшений. Идея метода проста и заключается в следующем.
По определенному правилу находится первоначальный опорный план (некоторая вершина области ограничений). Проверяется, является ли план оптимальным. Если да, то задача решена. Если нет, то переходим к другому улучшенному плану - к другой вершине. значение целевой функции на этом плане (в этой вершине) заведомо лучше, чем в предыдущей. Алгоритм перехода осуществляется с помощью некоторого вычислительного шага, который удобно записывать в виде таблиц, называемых симплекс-таблицами . Так как вершин конечное число, то за конечное число шагов мы приходим к оптимальному решению.
Рассмотрим симплексный метод на конкретном примере задачи о составлении плана.
Еще раз заметим, что симплекс-метод применим для решения канонических задач ЛП, приведенных к специальному виду, т. е. имеющих базис, положительные правые части и целевую функцию, выраженную через небазисные переменные. Если задача не приведена к специальному виду, то нужны дополнительные шаги, о которых мы поговорим позже.
Рассмотрим задачу о плане производства, предварительно построив модель и приведя ее к специальному виду.
Задача.
Для изготовления изделий А и В склад может отпустить сырья не более 80 единиц. Причем на изготовление изделия А расходуется две единицы, а изделия В - одна единица сырья. Требуется спланировать производство так, чтобы была обеспечена наибольшая прибыль, если изделий А требуется изготовить не более 50 шт., а изделий В - не более 40 шт. Причем, прибыль от реализации одного изделия А - 5 руб., а от В - 3 руб.
Построим математическую модель, обозначив за х 1 количество изделий А в плане, за х 2 - количество изделий В . тогда система ограничений будет выглядеть следующим образом:
x 1 ≤50
x 2 ≤40
2x 1 +x 2 ≤80
x 1 ≥0, x 2 ≥0
5x 1 +3x 2 →max
Приведем задачу к каноническому виду , введя дополнительные переменные:
x 1 +x 3 =50
x 2 +x 4 =40
2x 1 +x 2 +x 5 =80
x 1 ≥0, x 2 ≥0
5x 1 +3x 2 →max
-F = -5x 1 - 3x 2 → min.
Эта задача имеет специальный вид (с базисом, правые части неотрицательны). Ее можно решить симплекс-методом.
I этап. Запись задачи в симплекс-таблицу. Между системой ограничений задачи (3.10) и симплекс-таблицей взаимно-однозначное соответствие. Строчек в таблице столько, сколько равенств в системе ограничений, а столбцов - столько, сколько свободных переменных. Базисные переменные заполняют первый столбец, свободные - верхнюю строку таблицы. Нижняя строка называется индексной, в ней записываются коэффициенты при переменных в целевой функции. В правом нижнем углу первоначально записывается 0, если в функции нет свободного члена; если есть, то записываем его с противоположным знаком. На этом месте (в правом нижнем углу) будет значение целевой функции, которое при переходе от одной таблицы к другой должно увеличиваться по модулю. Итак, нашей системе ограничений соответствует таблица 3.4, и можно переходить ко II этапу решения.
Таблица 3.4
|
базисные |
свободные |
||
II этап . Проверка опорного плана на оптимальность.
Данной таблице 3.4 соответствует следующий опорный план:
(х 1 , х 2 , х 3 , х 4 , х 5) = (0, 0, 50, 40, 80).
Свободные переменные х 1 , х 2 равны 0; х 1 = 0, х 2 = 0. А базисные переменные х 3 , х 4 , х 5 принимают значения х 3 = 50, х 4 = 40, х 5 = 80 - из столбца свободных членов. Значение целевой функции:
-F = - 5х 1 - 3х 2 = -5 · 0 - 3 · 0 = 0.
Наша задача - проверить, является ли данный опорный план оптимальным. для этого необходимо просмотреть индексную строку - строку целевой функции F .
Возможны различные ситуации.
1. В индексной F -строке нет отрицательных элементов. Значит, план оптимален, можно выписать решение задачи. Целевая функция достигла своего оптимального значения, равного числу, стоящему в правом нижнем углу, взятому с противоположным знаком. Переходим к IV этапу.
2. В индексной строке есть хотя бы один отрицательный элемент, в столбце которого нет положительных. Тогда делаем вывод о том, что целевая функция F →∞ неограниченно убывает.
3. В индексной строке есть отрицательный элемент, в столбце которого есть хотя бы один положительный. Тогда переходим к следующему III этапу. пересчитываем таблицу, улучшая опорный план.
III этап . Улучшение опорного плана.
Из отрицательных элементов индексной F -строки выберем наибольший по модулю, назовем соответствующий ему столбец разрешающим и пометим "".
Чтобы выбрать разрешающую строку, необходимо вычислить отношения элементов столбца свободных членов только к положительным элементам разрешающего столбца. Выбрать из полученных отношений минимальное. Соответствующий элемент, на котором достигается минимум, называется разрешающим. Будем выделять его квадратом.
В нашем примере, элемент 2 - разрешающий. Строка, соответствующая этому элементу, тоже называется разрешающей (табл. 3.5).
Таблица 3.5
Выбрав разрешающий элемент, делаем перечет таблицы по правилам:
1. В новой таблице таких же размеров, что и ранее, переменные разрешающей строки и столбца меняются местами, что соответствует переходу к новому базису. В нашем примере: х 1 входит в базис, вместо х 5 , которая выходит из базиса и теперь свободная (табл. 3.6).
Таблица 3.6
2. На месте разрешающего элемента 2 записываем обратное ему число ½.
3. Элементы разрешающей строки делим на разрешающий элемент.
4. Элементы разрешающего столбца делим на разрешающий элемент и записываем с противоположным знаком.
5. Чтобы заполнить оставшиеся элементы таблицы 3.6, осуществляем пересчет по правилу прямоугольника. Пусть мы хотим посчитать элемент, стоящий на месте 50.
Соединяем этот элемент мысленно с разрешающим, находим произведение, вычитаем произведение элементов, находящихся на другой диагонали получившегося прямоугольника. Разность делим на разрешающий элемент.
Итак, . Записываем 10 на место, где было 50. Аналогично:
, 
, , 
.
Таблица 3.7
Имеем новую таблицу 3.7, базисными переменными теперь являются переменные {x 3 ,x 4 ,x 1 }. Значение целевой функции стало равно -200, т.е. уменьшилось. Чтобы проверить данное базисное решение на оптимальность надо перейти опять ко II этапу. Процесс, очевидно, конечен, критерием остановки являются пункт 1 и 2 II этапа.
Доведем решение задачи до конца. Для этого проверим индексную строку и, увидев в ней отрицательный элемент -½, назовем соответствующий ему столбец разрешающим и, согласно III этапу, пересчитаем таблицу. Составив отношения и выбрав среди них минимальное = 40, определили разрешающий элемент 1. теперь пересчет осуществляем согласно правилам 2-5.
Таблица 3.8
После пересчета таблицы убеждаемся, что в индексной строке нет отрицательных элементов, следовательно, задача решена, базисный план оптимален.
IV этап . Выписывание оптимального решения.
Если симплекс-метод остановился согласно пункту 1 II этапа, то решение задачи выписывается следующим образом. Базисные переменные принимают значения столбца свободных членов соответственно. В нашем примере х 3 = 30, х 2 = 40, х 1 = 20. Свободные переменные равны 0, х 5 = 0, х 4 = 0. Целевая функция принимает значение последнего элемента столбца свободных членов с противоположным знаком: -F = -220 → F = 220, в нашем примере функция исследовалась на min, и первоначально F → max, поэтому фактически знак поменялся дважды. Итак, х * = (20, 40, 30, 0, 0), F * = 220. Ответ к задаче:
Необходимо в план выпуска включить 20 изделий типа А , 40 изделий типа В, при этом прибыль будет максимальной и будет равна 220 руб.
В конце этого параграфа приведем блок-схему алгоритма симплекс-метода, которая в точности повторяет этапы, но, возможно, для некоторых читателей будет более удобна в пользовании, т. к. стрелочки указывают четкую направленность действий.
Ссылки над прямоугольниками в блок-схеме показывают, к какому этапу или подпункту относится соответствующая группа преобразований. правило нахождения первоначального опорного плана будет сформулировано в пункте 3.7.
Пример
. Решить следующую задачу ЛП в канонической форме симплекс-методом.
f(x)=x 1 +9x 2 +5x 3 +3x 4 +4x 5 +14x 6 → min
x 1 +x 4 =20
x 2 +x 5 =50
x 3 +x 6 =30
x 4 +x 5 +x 6 =60
x i ≥ 0, i = 1,…,6
Говорят, что задача ЛП имеет каноническую форму, если все ограничения (кроме условий неотрицательности переменных) имеют вид равенств, а все свободные члены неотрицательны. Так что мы имеем задачу в канонической форме.
Идея симплекс-метода заключается в следующем. Сначала нужно найти некоторую (начальную) вершину многогранника допустимых решений (начальное допустимое базисное решение). Затем нужно проверить это решение на оптимальность. Если оно оптимально, то решение найдено; если нет, то перейти к другой вершине многогранника и вновь проверить на оптимальность.
Ввиду конечности вершин многогранника (следствие конечности ограничений задачи ЛП) за конечное число "шагов" мы найдем искомую точку минимума или максимума. Надо заметить, что при переходе от одной вершины к другой значение целевой функции убывает (в задаче на минимум) или возрастает (в задаче на максимум).
Таким образом, идея симплекс-метода основывается на трех свойствах задачи ЛП.
Решение.
Чтобы найти начальное допустимое базисное решение, т.е. чтобы определить базисные переменные, систему (5.6) нужно привести к "диагональному" виду. Применяя метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных), получаем из (5.6):
x 2 +x 1 +x 3 =40
x 4 +x 1 =20
x 5 -x 1 -x 3 =10
x 6 +x 3 =30
Следовательно, базисными являются переменные x 2 , x 4 , x 5 , x 6 ,
им придаем значения, равные
свободным членам соответствующих строк: x 2 =40, x 4 =20, x 5 =10, x 6 =30,
. Переменные x 1
и x 3
являются небазисными: x 1 =0, x 3 =0
.
Построим начальное допустимое базисное решение
x 0 = (0,40,0,20,10,30) (5.9)
Для проверки на оптимальность найденного решения x 0
нужно из целевой функции исключить базисные переменные (с помощью системы (5.8)) и построить специальную симплекс таблицу.
После исключения переменных целевую функцию удобно записать в виде:
f(x) = -7x 1 – 14x 3 +880 (5.10)
Теперь при помощи (5.8) –(5.10) составляем начальную симплекс-таблицу:
В нулевую строчку записаны коэффициенты с обратным знаком соответствующих переменных при целевой функции. Критерий оптимальности (для задачи на поиск минимума): допустимое базисное решение(x 0
) оптимально, если в нулевой строчке нет ни одного строго положительного числа (не считая значения целевой функции (880)). Это правило распространяется и на следующие итерации (таблицы). Элементы нулевой строки будем называть оценками столбцов.
Так что начальное допустимое базисное решение (5.9) неоптимально: 7>0, 14>0
.
В нулевом столбике записаны значения базисных переменных. Они обязательно должны быть неотрицательными (см. уравнение (5.7)).
От первой по четвертую строки написаны коэффициенты переменных из системы (5.8).
Так как x 0
неоптимально, то надо перейти к другой вершине многогранника допустимых решений (построить новое д.б.р.). Для этого нужно найти ведущий элемент и провести определенное преобразование (симплексное преобразование).
Сначала находим ведущий элемент таблицы, который стоит в пересечении ведущего столбика (столбец с наибольшей положительной оценкой) и ведущей строки (строки, соответствующей минимальному соотношению элементов нулевого столбика к соответствующим элементам (строго положительным) ведущего столбика).
В таблице 1 ведущий столбик - третий столбик, и ведущая строка - четвертая строка (min{40/1,30/1}=30/1)
обозначены стрелками, а ведущий элемент - кружочком. Ведущий элемент показывает, что базисную переменную x 6
нужно заменить на небазисную x 3
. Тогда новыми базисными переменными будут x 2 , x 3 , x 4 ,
x 5 ,
, а небазисными -x 1 , x 6 ,
. Это и означает переход к новой вершине многогранника допустимых решений. Чтобы найти значения координат нового допустимого базисного решения x 00
нужно строить новую симплекс-таблицу и провести в ней элементарные преобразования:
а)
все элементы ведущей строки поделить на ведущий элемент, превратив этим самым ведущий элемент в 1 (для простоты выкладок);
б)
с помощью ведущего элемента (равного 1) все элементы ведущего столбика превратить в нули (аналогично методу исключения неизвестных);
В результате в нулевом столбце получены значения новых базисных переменных x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ,
(см. таблицу 2) - базисные компоненты новой вершины x 00
(небазисные компоненты x 1 =0, x 6 =0,
).
Как показывает таблица 2, новое базисное решение x 00 =(0,10,30,20,40,0)
неоптимально (в нулевой строке есть неотрицательная оценка 7). Поэтому с ведущим элементом 1 (см. таблицу 2) строим новую симплекс-таблицу, т.е. строим новое допустимое базисное решение
Таблице 3 соответствует допустимое базисное решение x 000 =(10,0,30,10,50,0)
и оно оптимально, т.к. в нулевой строчке нет положительных оценок. Поэтому f(x 000)=390
есть минимальное значение целевой функции.
Ответ: x 000 =(10, 0, 30, 10, 50, 0)
- точка минимума, f(x 000)=390
.
Условно стандартная задача линейного программирования
Необходимо выполнить в указанном порядке следующие задания.- Найти оптимальный план прямой задачи:
а) графическим методом ;
б) симплекс-методом (для построения исходного опорного плана рекомендуется использовать метод искусственного базиса). - Построить двойственную задачу .
- Найти оптимальный план двойственной задачи из графического решения прямой, используя условия дополняющей нежесткости.
- Найти оптимальный план двойственной задачи по первой теореме двойственности , используя окончательную симплекс-таблицу, полученную при решении прямой задачи (см. п. 1б). Проверить утверждение «значения целевых функций пары двойственных задач на своих оптимальных решениях совпадают».
- Двойственную задачу решить симплекс-методом, затем, используя окончательную симплекс-таблицу двойственной задачи найти оптимальный план прямой задачи по первой теореме двойственности. Сравнить результат с результатом, который был получен графическим методом (см. п. 1а).
- Найти оптимальное целочисленное решение:
а) графическим методом ;
б) Методом Гомори .
Сравнить значения функций целочисленного и нецелочисленного решений
Вопросы для самоконтроля
- Как строится симплекс-таблица?
- Как отражается смена базиса в таблице?
- Сформулируйте критерий остановки симплекс-метода.
- Как организовать пересчет таблицы?
- С какой строки удобно начинать пересчет таблицы?
Здесь приведено ручное (не апплетом) решение двух задач симплекс-методом (аналогичным решению апплетом) с подробными объяснениями для того, чтобы понять алгоритм решения задач симплекс-методом. Первая задача содержит знаки неравенства только " ≤ " (задача с начальным базисом), вторая может содержить знаки " ≥ ", " ≤ " или " = " (задача с искусственным базисом), они решаются по разному.
Симплекс-метод, решение задачи с начальным базисом
1)Симплекс-метод для задачи с начальным базисом (все знаки неравенств-ограничений " ≤ ").
Запишем задачу в канонической форме, т.е. ограничения-неравенства перепишем в виде равенств, добавляя балансовые переменные:
Эта система является системой с базисом (базис s 1 , s 2 , s 3 , каждая из них входит только в одно уравнение системы с коэффициентом 1), x 1 и x 2 - свободные переменные. Задачи, при решении которых применяется симплекс-метод, должны обладать следующими двумя свойствами: -система ограничений должна быть системой уравнений с базисом; -свободные члены всех уравнений в системе должны быть неотрицательны.
Полученная система - система с базисом и ее свободные члены неотрицательны, поэтому можно применить симплекс-метод . Составим первую симплекс-таблицу (Итерация 0) для решения задачи на симплекс-метод , т.е. таблицу коэффициентов целевой функции и системы уравнений при соответствующих переменных. Здесь "БП" означает столбец базисных переменных, «Решение» - столбец правых частей уравнений системы. Решение не является оптимальным, т.к. в z – строке есть отрицательные коэффициенты.
симплекс-метод итерация 0
|
Отношение |
|||||||
Для улучшения решения перейдем к следующей итерации симплекс-метода , получим следующую симплекс-таблицу. Для этого надо выбрать разрешающий столбец , т.е. переменную, которая войдет в базис на следующей итерации симплекс-метода. Он выбирается по наибольшему по модулю отрицательному коэффициенту в z-строке (в задаче на максимум) – в начальной итерации симплекс-метода это столбец x 2 (коэффициент -6).
Затем выбирается разрешающая строка , т.е. переменная, которая выйдет из базиса на следующей итерации симплекс-метода. Она выбирается по наименьшему отношению столбца "Решение" к соответствующим положительным элементам разрешающего столбца (столбец «Отношение») – в начальной итерации это строка s 3 (коэффициент 20).
Разрешающий элемент находится на пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки, его ячейка выделена цветом, он равен 1. Следовательно, на следующей итерации симплекс-метода переменная x 2 заменит в базисе s 1 . Заметим, что в z-строке отношение не ищется, там ставится прочерк " - ". В случае если есть одинаковые минимальные отношения, то выбирается любое из них. Если в разрешающем столбце все коэффициенты меньше или равны 0, то решение задачи бесконечно.
Заполним следующую таблицу «Итерация 1». Её мы получим из таблицы «Итерация 0». Цель дальнейших преобразований - превратить разрешающий столбец х 2 в единичный (с единицей вместо разрешающего элемента и нулями вместо остальных элементов).
1)Вычисление строки х 2 таблицы "Итерация 1". Сначала делим все члены разрешающей строки s 3 таблицы "Итерация 0" на разрешающий элемент (он равен 1 в данном случае) этой таблицы, получим строку x 2 в таблице «Итерации 1». Т.к. разрешающий элемент в данном случае равен 1, то строка s 3 таблицы "Итерация 0" будет совпадать со строкой х 2 таблицы "Итерация 1". Строку x 2 таблицы "Итерации 1" мы получили 0 1 0 0 1 20, остальные строки таблицы "Итерация 1" будут получены из этой строки и строк таблицы "Итерация 0" следующим образом:
2) Вычисление z-строки таблицы "Итерация 1". На месте -6 в первой строке (z-строке) в столбце х 2 таблицы "Итерация 0" должен быть 0 в первой строке таблицы "Итерация 1". Для этого все элементы строки х 2 таблицы "Итерация 1" 0 1 0 0 1 20 умножим на 6, получим 0 6 0 0 6 120 и сложим эту строку с первой строкой (z - строкой) таблицы "Итерация 0" -4 -6 0 0 0 0, получим -4 0 0 0 6 120. В столбце x 2 появился ноль 0, цель достигнута. Элементы разрешающего столбца х 2 выделены красным цветом.
3) Вычисление строки s 1 таблицы "Итерация 1". На месте 1 в s 1 строке таблицы "Итерация 0" должен быть 0 в таблице "Итерация 1". Для этого все элементы строки х 2 таблицы "Итерация 1" 0 1 0 0 1 20 умножим на -1, получим 0 -1 0 0 -1 -20 и сложим эту строку с s 1 - строкой таблицы "Итерация 0" 2 1 1 0 0 64, получим строку 2 0 1 0 -1 44. В столбце х 2 получен необходимый 0.
4) Вычисление строки s 2 таблицы "Итерация 1". На месте 3 в s 2 строке таблицы "Итерация 0" должен быть 0 в таблице "Итерация 1". Для этого все элементы строки х 2 таблицы "Итерация 1" 0 1 0 0 1 20 умножим на -3, получим 0 -3 0 0 -3 -60 и сложим эту строку с s 1 - строкой таблицы "Итерация 0" 1 3 0 1 0 72, получим строку 1 0 0 1 -3 12. В столбце х 2 получен нужный 0. Столбец х 2 в таблице "Итерация 1" стал единичным, он содержит одну 1 и остальные 0.
Строки таблицы «Итерация 1» получаем по следующему правилу:
Новая строка = Старая строка – (Коэффициент разрешающего столбца старой строки)*(Новая разрешающая строка).
Например для z-строки имеем:
Старая z-строка (-4 -6 0 0 0 0) -(-6)*Новая разрешающая строка -(0 -6 0 0 -6 -120) =Новая z-строка (-4 0 0 0 6 120).
Для следующих таблиц пересчет элементов таблицы делается аналогично, поэтому мы его опускаем.
симплекс-метод итерация 1
|
Отношение |
|||||||
Разрешающий столбец х 1 , разрешающая строка s 2 , s 2 выходит из базиса, х 1 входит в базис. Совершенно аналогично получим остальные симплекс-таблицы, пока не будет получена таблица со всеми положительными коэффициентами в z-строке. Это признак оптимальной таблицы.
симплекс-метод итерация 2
|
Отношение |
|||||||
Разрешающий столбец s 3 , разрешающая строка s 1 , s 1 выходит из базиса, s 3 входит в базис.
симплекс-метод итерация 3
|
Отношение |
|||||||
В z-строке все коэффициенты неотрицательны, следовательно, получено оптимальное решение x 1 = 24, x 2 = 16, z max = 192.
Здесь приведено ручное (не апплетом) решение двух задач симплекс-методом (аналогичным решению апплетом) с подробными объяснениями для того, чтобы понять алгоритм решения задач симплекс-методом. Первая задача содержит знаки неравенства только " ≤ " (задача с начальным базисом), вторая может содержить знаки " ≥ ", " ≤ " или " = " (задача с искусственным базисом), они решаются по разному.
Симплекс-метод, решение задачи с начальным базисом
1)Симплекс-метод для задачи с начальным базисом (все знаки неравенств-ограничений " ≤ ").
Запишем задачу в канонической форме, т.е. ограничения-неравенства перепишем в виде равенств, добавляя балансовые переменные:
Эта система является системой с базисом (базис s 1 , s 2 , s 3 , каждая из них входит только в одно уравнение системы с коэффициентом 1), x 1 и x 2 - свободные переменные. Задачи, при решении которых применяется симплекс-метод, должны обладать следующими двумя свойствами: -система ограничений должна быть системой уравнений с базисом; -свободные члены всех уравнений в системе должны быть неотрицательны.
Полученная система - система с базисом и ее свободные члены неотрицательны, поэтому можно применить симплекс-метод . Составим первую симплекс-таблицу (Итерация 0) для решения задачи на симплекс-метод , т.е. таблицу коэффициентов целевой функции и системы уравнений при соответствующих переменных. Здесь "БП" означает столбец базисных переменных, «Решение» - столбец правых частей уравнений системы. Решение не является оптимальным, т.к. в z – строке есть отрицательные коэффициенты.
симплекс-метод итерация 0
|
Отношение |
|||||||
Для улучшения решения перейдем к следующей итерации симплекс-метода , получим следующую симплекс-таблицу. Для этого надо выбрать разрешающий столбец , т.е. переменную, которая войдет в базис на следующей итерации симплекс-метода. Он выбирается по наибольшему по модулю отрицательному коэффициенту в z-строке (в задаче на максимум) – в начальной итерации симплекс-метода это столбец x 2 (коэффициент -6).
Затем выбирается разрешающая строка , т.е. переменная, которая выйдет из базиса на следующей итерации симплекс-метода. Она выбирается по наименьшему отношению столбца "Решение" к соответствующим положительным элементам разрешающего столбца (столбец «Отношение») – в начальной итерации это строка s 3 (коэффициент 20).
Разрешающий элемент находится на пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки, его ячейка выделена цветом, он равен 1. Следовательно, на следующей итерации симплекс-метода переменная x 2 заменит в базисе s 1 . Заметим, что в z-строке отношение не ищется, там ставится прочерк " - ". В случае если есть одинаковые минимальные отношения, то выбирается любое из них. Если в разрешающем столбце все коэффициенты меньше или равны 0, то решение задачи бесконечно.
Заполним следующую таблицу «Итерация 1». Её мы получим из таблицы «Итерация 0». Цель дальнейших преобразований - превратить разрешающий столбец х 2 в единичный (с единицей вместо разрешающего элемента и нулями вместо остальных элементов).
1)Вычисление строки х 2 таблицы "Итерация 1". Сначала делим все члены разрешающей строки s 3 таблицы "Итерация 0" на разрешающий элемент (он равен 1 в данном случае) этой таблицы, получим строку x 2 в таблице «Итерации 1». Т.к. разрешающий элемент в данном случае равен 1, то строка s 3 таблицы "Итерация 0" будет совпадать со строкой х 2 таблицы "Итерация 1". Строку x 2 таблицы "Итерации 1" мы получили 0 1 0 0 1 20, остальные строки таблицы "Итерация 1" будут получены из этой строки и строк таблицы "Итерация 0" следующим образом:
2) Вычисление z-строки таблицы "Итерация 1". На месте -6 в первой строке (z-строке) в столбце х 2 таблицы "Итерация 0" должен быть 0 в первой строке таблицы "Итерация 1". Для этого все элементы строки х 2 таблицы "Итерация 1" 0 1 0 0 1 20 умножим на 6, получим 0 6 0 0 6 120 и сложим эту строку с первой строкой (z - строкой) таблицы "Итерация 0" -4 -6 0 0 0 0, получим -4 0 0 0 6 120. В столбце x 2 появился ноль 0, цель достигнута. Элементы разрешающего столбца х 2 выделены красным цветом.
3) Вычисление строки s 1 таблицы "Итерация 1". На месте 1 в s 1 строке таблицы "Итерация 0" должен быть 0 в таблице "Итерация 1". Для этого все элементы строки х 2 таблицы "Итерация 1" 0 1 0 0 1 20 умножим на -1, получим 0 -1 0 0 -1 -20 и сложим эту строку с s 1 - строкой таблицы "Итерация 0" 2 1 1 0 0 64, получим строку 2 0 1 0 -1 44. В столбце х 2 получен необходимый 0.
4) Вычисление строки s 2 таблицы "Итерация 1". На месте 3 в s 2 строке таблицы "Итерация 0" должен быть 0 в таблице "Итерация 1". Для этого все элементы строки х 2 таблицы "Итерация 1" 0 1 0 0 1 20 умножим на -3, получим 0 -3 0 0 -3 -60 и сложим эту строку с s 1 - строкой таблицы "Итерация 0" 1 3 0 1 0 72, получим строку 1 0 0 1 -3 12. В столбце х 2 получен нужный 0. Столбец х 2 в таблице "Итерация 1" стал единичным, он содержит одну 1 и остальные 0.
Строки таблицы «Итерация 1» получаем по следующему правилу:
Новая строка = Старая строка – (Коэффициент разрешающего столбца старой строки)*(Новая разрешающая строка).
Например для z-строки имеем:
Старая z-строка (-4 -6 0 0 0 0) -(-6)*Новая разрешающая строка -(0 -6 0 0 -6 -120) =Новая z-строка (-4 0 0 0 6 120).
Для следующих таблиц пересчет элементов таблицы делается аналогично, поэтому мы его опускаем.
симплекс-метод итерация 1
|
Отношение |
|||||||
Разрешающий столбец х 1 , разрешающая строка s 2 , s 2 выходит из базиса, х 1 входит в базис. Совершенно аналогично получим остальные симплекс-таблицы, пока не будет получена таблица со всеми положительными коэффициентами в z-строке. Это признак оптимальной таблицы.
симплекс-метод итерация 2
|
Отношение |
|||||||
Разрешающий столбец s 3 , разрешающая строка s 1 , s 1 выходит из базиса, s 3 входит в базис.
симплекс-метод итерация 3
|
Отношение |
|||||||
В z-строке все коэффициенты неотрицательны, следовательно, получено оптимальное решение x 1 = 24, x 2 = 16, z max = 192.
Двойственный симплексный метод основан на теории двойственности (см. решение двойственной задачи) и используется для решения задач линейного программирования, свободные члены которых b i могут принимать любые значения, а система ограничений задана неравенствами смысла «≤», «≥» или равенством «=».Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор используется для решения задач линейного программирования P-методом в следующих формах записи: базовой форме записи симплекс-метода, в виде симплексной таблицы, модифицированным симплекс-методом.
Инструкция для решения задач двойственным симплекс-методом . Выберите количество переменных и количество строк (количество ограничений), нажмите Далее. Полученное решение сохраняется в файле Word . При этом ограничения типа x i ≥0 не учитывайте.
Вместе с этим калькулятором также используют следующие:
Графический метод решения ЗЛП
Решение транспортной задачи
Решение матричной игры
С помощью сервиса в онлайн режиме можно определить цену матричной игры (нижнюю и верхнюю границы), проверить наличие седловой точки, найти решение смешанной стратегии методами: минимакс, симплекс-метод, графический (геометрический) метод, методом Брауна.
Экстремум функции двух переменных
Задачи динамического программирования
Распределить 5 однородных партий товара между тремя рынками так, чтобы получить максимальный доход от их продажи. Доход от продажи на каждом рынке G(X) зависит от количества реализованных партий товара Х и представлен в таблице.
| Объем товара Х (в партиях) | Доход G(X) | ||
| 1 | 2 | 3 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 28 | 30 | 32 |
| 2 | 41 | 42 | 45 |
| 3 | 50 | 55 | 48 |
| 4 | 62 | 64 | 60 |
| 5 | 76 | 76 | 72 |
В P-методе оптимальный план получается в результате движения по псевдопланам. Псевдоплан - план, в котором условия оптимальности удовлетворяются, а среди значений базисных переменных x i имеются отрицательные числа. Алгоритм двойственного симплекс-метода включает следующие этапы:
- Составление псевдоплана . Систему ограничений исходной задачи приводят к системе неравенств смысла «≤».
- Проверка плана на оптимальность . Если в полученном опорном плане не выполняется условие оптимальности, то задача решается симплексным методом .
- Выбор ведущих строки и столбца . Среди отрицательных значений базисных переменных выбираются наибольшие по абсолютной величине. Строка, соответствующая этому значению, является ведущей.
- Расчет нового опорного плана . Новый план получается в результате пересчета симплексной таблицы методом Жордана-Гаусса . Далее переход к этапу 2.
Алгоритм двойственного симплекс-метода
1) выбирают разрешающую строку по наибольшему по абсолютной величине отрицательному элементу столбца свободных членов;
2) выбирают разрешающий столбец по наименьшему по абсолютной величине отношению элементов L строки к отрицательным элементам разрешающей строки;
3) пересчитывают симплексную таблицу по правилам обычного симплекс-метода;
4) решение проверяют на оптимальность. Признаком получения допустимого оптимального решения является отсутствие в столбце свободных членов отрицательных элементов.
Замечания
1. Если в разрешающей строке нет ни одного отрицательного элемента, задача неразрешима.
2. Если ограничения задачи заданы неравенствами типа «≥», двойственный симплекс-метод позволяет избавиться от необходимости введения искусственных переменных.
Особенности двойственного симплекс-метода Используются при решении методом Гомори .
Пример №1 . Решить задачу, используя алгоритм двойственного симплекс-метода
L = x 1 + 4x 2 → min
2х 1 +3х 2 +4х 3 ≥ 20
5х 1 -х 2 +2х 3 ≥ 12
х 1 +2х 2 -х 3 ≤ 2
х 1 +4х 2 -2х 3 ≤ 1
х 1 , х 2 , х 3 ≥ 0
Составляем исходную симплексную таблицу.
| Баз. | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 | x 6 | x 7 | Св. |
| x 4 | -2 | -3 | -4 | 1 | 0 | 0 | 0 | -20 |
| x 5 | -5 | 1 | -2 | 0 | 1 | 0 | 0 | -12 |
| x 6 | 1 | 2 | -1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 2 |
| x 7 | -1 | 4 | -2 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| L | -1 | -4 | -1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Отсутствие в L строке положительных оценок свидетельствует об оптимальности исходного решения, а наличие в столбце свободных членов отрицательных элементов – о его недопустимости. Согласно алгоритму двойственного симплекс-метода выбираем разрешающую строку по наибольшему по абсолютной величине отрицательному элементу столбца свободных элементов. В нашем примере разрешающая строка – первая. Разрешающий столбец выбирается в соответствии с правилом, изложенным в пункте 2 схемы алгоритма. Разрешающий элемент равен (-4). После пересчета получаем следующую таблицу
| Баз. | х 1 | х 2 | х 3 | х 4 | х 5 | х 6 | х 7 | Св. |
| х 3 | 1/2 | 3/4 | 1 | -1/4 | 0 | 0 | 0 | 5 |
| х 5 | -4 | 5/2 | 0 | -1/2 | 1 | 0 | 0 | -2 |
| х 6 | 3/2 | 11/4 | 0 | -1/4 | 0 | 1 | 0 | 7 |
| х 7 | 0 | 11/2 | 0 | -1/2 | 0 | 0 | 1 | 11 |
| L | -1/2 | -13/4 | 0 | -1/4 | 0 | 0 | 0 | 5 |
Аналогично рассуждая, получим еще одну таблицу
| Баз. | х 1 | х 2 | х 3 | х 4 | х 5 | х 6 | х 7 | Св. |
| х 3 | 0 | 17/16 | 1 | -5/16 | 1/8 | 0 | 0 | 19/4 |
| х 1 | 1 | -5/8 | 0 | 1/8 | -1/4 | 0 | 0 | 1/2 |
| х 6 | 0 | 59/16 | 0 | -7/16 | 3/8 | 1 | 0 | 25/4 |
| х 7 | 0 | 11/2 | 0 | -1/2 | 0 | 0 | 1 | 11 |
| L | 0 | -57/16 | 0 | -3/16 | -1/8 | 0 | 0 | 21/4 |
Отсутствие в столбце свободных членов отрицательных элементов свидетельствует о том, что получено оптимальное решение Lmin=21/4, X
min(1/2; 0; 19/4; 0; 25/4; 11).
Замечание
. Если решение ЗЛП и недопустимо и неоптимально, то сначала получаем допустимое решение, используя алгоритм двойственного симплекс-метода, а затем по правилам обычного симплекс-метода получаем оптимальное решение.
Пример
.
L = 5x 1 – x 2 – x 3 → max
или 
Составляем исходную симплекс-таблицу
| x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 | x 6 | x 7 | Св. | |
| x 4 | 0 | -1 | -2 | 1 | 0 | 0 | 0 | -9 |
| x 5 | 1 | -1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | -1 |
| x 6 | -1 | -1 | 3 | 0 | 0 | 1 | 0 | -8 |
| x 7 | 1 | 0 | -1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 4 |
| L | -5 | 1 | 4 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Решение недопустимо, так как в столбце свободных членов есть отрицательные элементы и неоптимально, так как в строке L есть отрицательная оценка (-5). Получаем сначала допустимое решение, используя алгоритм двойственного симплекс-метода. После пересчета получаем следующую симплексную таблицу
| Баз. | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 | x 6 | x 7 | Св. |
| x 2 | 0 | 1 | 2 | -1 | 0 | 0 | 0 | 9 |
| x 5 | 1 | 0 | 2 | -1 | 1 | 0 | 0 | 8 |
| x 6 | -1 | 0 | 5 | -1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| x 7 | -1 | 0 | -1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 4 |
| L | -5 | 0 | 2 | 1 | 0 | 0 | 0 | -9 |
Используем обычный симплекс-метод и получаем следующие таблицы
| Баз. | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 | x 6 | x 7 | Св. |
| x 2 | 0 | 1 | 2 | -1 | 0 | 0 | 0 | 9 |
| х 5 | 0 | 0 | 3 | -1 | 1 | 0 | -1 | 4 |
| х 6 | 0 | 0 | -4 | -1 | 0 | 1 | 1 | 5 |
| x 1 | 1 | 0 | -1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 4 |
| L | 0 | 0 | -3 | 1 | 0 | 0 | 5 | 11 |
| Баз. | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 | x 6 | x 7 | Св. |
| x 2 | 0 | 1 | 0 | -1/2 | 0 | -1/2 | -1/2 | 13/2 |
| x 5 | 1 | 0 | 0 | -1/4 | 1 | -3/4 | -7/4 | 1/4 |
| x 6 | 0 | 0 | 1 | -1/4 | 0 | 1/4 | 1/4 | 5/4 |
| x 1 | 0 | 0 | 0 | -1/4 | 0 | 1/4 | 5/4 | 21/4 |
| L | 0 | 0 | 0 | 1/4 | 0 | 3/4 | 23/4 | 59/4 |
Отсутствие в строке L отрицательных оценок свидетельствует о том, что получено оптимальное решение.
Lmax=59/4, X
max(21/4; 13/2; 5/4; 0; 1/4; 0; 0).
Пример
. Предприятию необходимо выпустить по плану продукции А1 единиц, А2 единиц, А3 единиц. Каждый вид изделия может производиться на двух машинах.
Как распределить работу машин, чтобы общие затраты времени на выполнение плана были минимальны? Дана матрица затрат и ресурс времени каждой машины. Записать модель исследуемой операции в форме, допускающей использование P–метода.
Известно, что содержание n питательных веществ A, B и С в рационе должно быть не менее m1, m2, m3 единиц соответственно. Указанные питательные вещества содержат три вида продуктов. Содержание единиц питательных веществ в одном килограмме каждого из видов продукта приведено в таблице. определите дневной рацион, обеспечивающий получение необходимого количества питательных веществ при минимальных денежных затратах.
Задание
: Решить задачу, используя алгоритм двойственного симплекс-метода.
Приведем систему ограничений к системе неравенств смысла ≤, умножив соответствующие строки на (-1).
Определим минимальное значение целевой функции F(X) = 4x 1 + 2x 2 + x 3 при следующих условиях-ограничений.
- x 1 - x 2 ≤-10
2x 1 + x 2 - x 3 ≤8
переход к канонической форме).
В первом неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x 4 . Во втором неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x 5 .
-1x 1 -1x 2 + 0x 3 + 1x 4 + 0x 5 = -10
2x 1 + 1x 2 -1x 3 + 0x 4 + 1x 5 = 8
| A = |
|
x 4 , x 5 ,
Полагая, что свободные переменные равны нулю, получим первый опорный план:
X1 = (0,0,0,-10,8)
| Базис | B | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
| x 4 | -10 | -1 | -1 | 0 | 1 | 0 |
| x 5 | 8 | 2 | 1 | -1 | 0 | 1 |
| F(X0) | 0 | -4 | -2 | -1 | 0 | 0 |
Итерация №1
План 0 в симплексной таблице является псевдопланом, поэтому определяем ведущие строку и столбец.
Ведущей будет первая строка, а переменную x 4 следует вывести из базиса.
3. Определение новой базисной переменной. Минимальное значение θ соответствует 2-му столбцу, т.е. переменную x 2 необходимо ввести в базис.
| Базис | B | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
| x 4 | -10 | -1 | -1 | 0 | 1 | 0 |
| x 5 | 8 | 2 | 1 | -1 | 0 | 1 |
| F(X0) | 0 | -4 | -2 | -1 | 0 | 0 |
| θ | 0 | -4: (-1) = 4 | -2: (-1) = 2 | - | - | - |
4. Пересчет симплекс-таблицы. Выполняем преобразования симплексной таблицы методом Жордано-Гаусса .
| Базис | B | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
| x 2 | 10 | 1 | 1 | 0 | -1 | 0 |
| x 5 | -2 | 1 | 0 | -1 | 1 | 1 |
| F(X0) | 20 | -2 | 0 | -1 | -2 | 0 |
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
| B | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
| -10: -1 | -1: -1 | -1: -1 | 0: -1 | 1: -1 | 0: -1 |
| 8-(-10 1):-1 | 2-(-1 1):-1 | 1-(-1 1):-1 | -1-(0 1):-1 | 0-(1 1):-1 | 1-(0 1):-1 |
| 0-(-10 -2):-1 | -4-(-1 -2):-1 | -2-(-1 -2):-1 | -1-(0 -2):-1 | 0-(1 -2):-1 | 0-(0 -2):-1 |
Итерация №2
1. Проверка критерия оптимальности.
План 1 в симплексной таблице является псевдопланом, поэтому определяем ведущие строку и столбец.
2. Определение новой свободной переменной.
Среди отрицательных значений базисных переменных выбираем наибольший по модулю.
Ведущей будет вторая строка, а переменную x 5 следует вывести из базиса.
3. Определение новой базисной переменной. Минимальное значение θ соответствует третьему столбцу, т.е. переменную x 3 необходимо ввести в базис.
На пересечении ведущих строки и столбца находится разрешающий элемент (РЭ), равный (-1).
| Базис | B | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
| x 2 | 10 | 1 | 1 | 0 | -1 | 0 |
| x 5 | -2 | 1 | 0 | -1 | 1 | 1 |
| F(X0) | 20 | -2 | 0 | -1 | -2 | 0 |
| θ | 0 | - | - | -1: (-1) = 1 | - | - |
4. Пересчет симплекс-таблицы. Выполняем преобразования.
| Базис | B | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
| x 2 | 10 | 1 | 1 | 0 | -1 | 0 |
| x 3 | 2 | -1 | 0 | 1 | -1 | -1 |
| F(X1) | 22 | -3 | 0 | 0 | -3 | -1 |
| B | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
| 10-(-2 0):-1 | 1-(1 0):-1 | 1-(0 0):-1 | 0-(-1 0):-1 | -1-(1 0):-1 | 0-(1 0):-1 |
| -2: -1 | 1: -1 | 0: -1 | -1: -1 | 1: -1 | 1: -1 |
| 20-(-2 -1):-1 | -2-(1 -1):-1 | 0-(0 -1):-1 | -1-(-1 -1):-1 | -2-(1 -1):-1 | 0-(1 -1):-1 |
В базисном столбце все элементы положительные. Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.
Итерация №3
1. Проверка критерия оптимальности.
Среди значений индексной строки нет положительных. Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задачи.
| Базис | B | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
| x 2 | 10 | 1 | 1 | 0 | -1 | 0 |
| x 3 | 2 | -1 | 0 | 1 | -1 | -1 |
| F(X1) | 22 | -3 | 0 | 0 | -3 | -1 |
Оптимальный план можно записать так: x 1 = 0, x 2 = 10, x 3 = 2
F(X) = 2 10 + 1 2 = 22
Пример №2
. Задание.
5x 1 + 6x 2 ≥1
15x 1 ≥1
7x 1 + 12x 2 ≥1
Приведем систему ограничений к системе неравенств смысла ≤, умножив соответствующие строки на (-1).
Определим минимальное значение целевой функции F(X) = x 1 + x 2 при следующих условиях-ограничений.
- 5x 1 - 6x 2 ≤-1
- 15x 1 ≤-1
- 7x 1 - 12x 2 ≤-1
Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме
).
В 1-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x 3 . В 2-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x 4 . В 3-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x 5 .
-5x 1 -6x 2 + 1x 3 + 0x 4 + 0x 5 = -1
-15x 1 + 0x 2 + 0x 3 + 1x 4 + 0x 5 = -1
-7x 1 -12x 2 + 0x 3 + 0x 4 + 1x 5 = -1
Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:
| A= | -5 | -6 | 1 | 0 | 0 |
| -15 | 0 | 0 | 1 | 0 | |
| -7 | -12 | 0 | 0 | 1 |
x 3 , x 4 , x 5 ,
Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:
X1 = (0,0,-1,-1,-1)
Базисное решение называется допустимым, если оно неотрицательно.
| Базис | B | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
| x 3 | -1 | -5 | -6 | 1 | 0 | 0 |
| x 4 | -1 | -15 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| x 5 | -1 | -7 | -12 | 0 | 0 | 1 |
| F(X0) | 0 | -1 | -1 | 0 | 0 | 0 |
Пример решения Р-методом
Условие задачи . Предприятию необходимо выпустить по плану продукции А 1 – 500 единиц, А 2 – 300 единиц, А 3 – 450 единиц. Каждый вид изделия может производиться на двух машинах.Как распределить работу машин, чтобы общие затраты времени на выполнение плана были минимальны? Дана матрица затрат и ресурс времени каждой машины. Записать модель исследуемой операции в форме, допускающей использование P – метода.
Составим математическую модель задачи.
2x 11 + 3x 12 +3x 13 ≤ 1500
5x 21 + 4x 22 +x 23 ≤ 1000
x 11 + x 21 ≥ 500
x 12 + x 22 ≥ 300
x 13 + x 23 ≥ 450
Целевая функция:
2x 11 + 3x 12 +3x 13 + 5x 21 + 4x 22 +x 23 → min
Запишем в виде, решаемом Р-методом.
2x 11 + 3x 12 +3x 13 ≤ 1500
5x 21 + 4x 22 +x 23 ≤ 1000
-x 11 -x 21 ≤ -500
-x 12 -x 22 ≤ -300
-x 13 -x 23 ≤ -450
Определим минимальное значение целевой функции F(X) = 2x 1 +3x 2 +3x 3 +5x 4 +4x 5 +x 6 при следующих условиях-ограничений.
2x 1 +3x 2 +3x 3 ≤1500
5x 4 +4x 5 +x 6 ≤1000
-x 1 -x 4 ≤-500
-x 2 -x 5 ≤-300
-x 3 -x 6 ≤-450
Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).
2x 1 + 3x 2 + 3x 3 + 0x 4 + 0x 5 + 0x 6 + 1x 7 + 0x 8 + 0x 9 + 0x 10 + 0x 11 = 1500
0x 1 + 0x 2 + 0x 3 + 5x 4 + 4x 5 + 1x 6 + 0x 7 + 1x 8 + 0x 9 + 0x 10 + 0x 11 = 1000
-1x 1 + 0x 2 + 0x 3 -1x 4 + 0x 5 + 0x 6 + 0x 7 + 0x 8 + 1x 9 + 0x 10 + 0x 11 = -500
0x 1 -1x 2 + 0x 3 + 0x 4 -1x 5 + 0x 6 + 0x 7 + 0x 8 + 0x 9 + 1x 10 + 0x 11 = -300
0x 1 + 0x 2 -1x 3 + 0x 4 + 0x 5 -1x 6 + 0x 7 + 0x 8 + 0x 9 + 0x 10 + 1x 11 = -450
Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:
| 2 | 3 | 3 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
|
0 | 0 |
0 | 5 |
4 | 1 |
0 | 1 |
0 | 0 |
0 |
| -1 | 0 | 0 | -1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
|
0 | -1 |
0 | 0 |
-1 | 0 |
0 | 0 |
0 | 1 |
0 |
| 0 | 0 | -1 | 0 | 0 | -1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
Решим систему уравнений относительно базисных переменных:
x 7 , x 8 , x 9 , x 10 , x 11 ,
Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:
X1 = (0,0,0,0,0,0,1500,1000,-500,-300,-450)
| План | Базис | В | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 | x 6 | x 7 | x 8 | x 9 | x 10 | x 11 |
| 0 |
x 7 | 1500 |
2 | 3 |
3 | 0 |
0 | 0 |
1 | 0 |
0 | 0 |
0 |
| | x 8 | 1000 | 0 | 0 | 0 | 5 | 4 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| |
x 9 | -500 |
-1 | 0 |
0 | -1 |
0 | 0 |
0 | 0 |
1 | 0 |
0 |
| | x 10 | -300 | 0 | -1 | 0 | 0 | -1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| |
x 11 | -450 |
0 | 0 |
-1 | 0 |
0 | -1 |
0 | 0 |
0 | 0 |
1 |
| Индексная строка | F(X0) | 0 | -2 | -3 | -3 | -5 | -4 | -1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| θ |
| |
2 | |
| 5 |
| |
| |
| |
|
Оптимальный план можно записать так: x 5 = 133.33, x 8 = 16.67, x 1 = 500, x 2 = 166.67, x 6 = 450
F(X) = 2*500 + 3*166.67 + 4*133.33 + 1*450 = 2483.33
Пример №1 . Предприятию необходимо выпустить по плану продукции, не менее, чем: А 1 - 500 единиц, А2 – 300 единиц, А 3 – 450 единиц. Каждый вид изделия может производиться на двух машинах. Как распределить работу машин, чтобы общие затраты времени на выполнение плана были минимальными, если задана матрица затрат. Ресурс времени каждой машины приведен справа от таблицы. Записать модель исследуемой операции в форме, допускающей использование Р-метода. Решить задачу Р-методом.
Пример №2
. Из 4 видов кормов необходимо составить рацион, в состав которого должно входить не менее в1 ед. вещества А, в 2 ед. вещества В и в 3 ед. вещества С. Количество единиц вещества, содержащегося в 1 кг корма каждого вида, указано в соответствующей таблице. В ней же приведена цена 1 кг корма каждого вида.
Составить рацион, содержащий не менее нужного количества указанных питательных веществ и имеющий минимальную стоимость.
