Пифагор целые числа и треугольники. Пифагоровы тройки и их количество. Задачи по планиметрии

Белотелов В.А. Пифагоровы тройки и их количество // Энциклопедия Нестеровых

Эта статья является ответом одному профессору – щипачу. Смотри, профессор, как это у нас в деревне делают.

Нижегородская область, г. Заволжье.

Требуется знание алгоритма решения диофантовых уравнений (АРДУ) и знание прогрессий многочленов.

ПЧ – простое число.

СЧ – составное число.

Пусть есть число N нечётное. Для любого нечётного числа, кроме единицы, можно составить уравнение.

р 2 + N = q 2 ,

где р + q = N, q – р = 1.

Например, для чисел 21 и 23 уравнениями будут, -

10 2 + 21 = 11 2 , 11 2 + 23 = 12 2 .

Если число N простое, данное уравнение единственное. Если число N составное, тогда можно составить подобных уравнений по числу пар сомножителей представляющих это число, включая 1 х N.

Возьмём число N = 45, -

1 х 45 = 45, 3 х 15 = 45, 5 х 9 = 45.

Мечталось, а нельзя ли уцепившись за это различие между ПЧ и СЧ найти метод их идентификации.

Введём обозначения;

Изменим нижнее уравнение, -

N = в 2 – а 2 = (в – а)(в + а).

Сгруппируем величины N по признаку в - а, т.е. составим таблицу.

Числа N были сведены в матрицу, -

Именно под эту задачу пришлось разбираться с прогрессиями многочленов и их матрицами. Всё оказалось напрасно, – ПЧ оборону держат мощно. Давайте в таблицу 1 введём столбец, где в - а = 1 (q - р = 1).

И ещё раз. Таблица 2 получилась в следствии попытки решения задачи об идентификации ПЧ и СЧ. Из таблицы следует, что для любого числа N, существует столько уравнений вида а 2 + N = в 2 , на сколько пар сомножителей можно разбить число N, включая сомножитель 1 х N. Кроме чисел N = ℓ 2 , где

ℓ - ПЧ. Для N = ℓ 2 , где ℓ - ПЧ, существует единственное уравнение р 2 + N = q 2 . О каком дополнительном доказательстве может идти речь, если в таблице перебраны меньшие множители из пар сомножителей, образующих N, от единицы до ∞. Таблицу 2 поместим в сундучок, а сундучок спрячем в чуланчике.

Вернёмся к теме заявленной в названии статьи.

Эта статья является ответом одному профессору – щипачу.

Обратился за помощью, – требовался ряд чисел, который не мог найти в интернете. Напоролся на вопросы типа, – "а за чем?", "а покажи метод". Был в частности задач вопрос, бесконечен ли ряд пифагоровых троек, "а как доказать?". Не помог он мне. Смотри, профессор, как это у нас в деревне делают.

Возьмем формулу пифагоровых троек, –

х 2 = у 2 + z 2 . (1)

Пропустим через АРДУ.

Возможны три ситуации:

I. х – нечётное число,

у – чётное число,

z – чётное число.

И есть условие х > у > z.

II. х – нечётное число,

у – чётное число,

z – нечётное число.

х > z > у.

III.х – чётное число,

у – нечётное число,

z – нечётное число.

х > у > z.

Начнём по порядку с I.

Введём новые переменные

Подставим в уравнение (1).

Сократим на меньшее переменное 2γ.

(2α – 2γ + 2к + 1) 2 = (2β – 2γ + 2к) 2 + (2к + 1) 2 .

Сократим на меньшее переменное 2β – 2γ с одновременным введением нового параметра ƒ, -

(2α – 2β + 2ƒ + 2к + 1) 2 = (2ƒ + 2к) 2 + (2к + 1) 2 (2)

Тогда, 2α – 2β = х – у – 1.

Уравнение (2) примет вид, –

(х – у + 2ƒ + 2к) 2 = (2ƒ + 2к) 2 + (2к + 1) 2

Возведём в квадрат, -

(х – у) 2 + 2(2ƒ + 2к)(х – у) + (2ƒ + 2к) 2 = (2ƒ + 2к) 2 + (2к + 1) 2 ,

(х – у) 2 + 2(2ƒ + 2к)(х – у) – (2к + 1) 2 = 0. (3)

АРДУ даёт через параметры соотношение между старшими членами уравнения, поэтому мы получили уравнение (3).

Не солидно заниматься подбором решений. Но, во – первых, деваться некуда, а во – вторых, этих решений нужно несколько, а бесконечный ряд решений мы сможем восстановить.

При ƒ = 1, к = 1, имеем х – у = 1.

При ƒ = 12, к = 16, имеем х – у = 9.

При ƒ = 4, к = 32, имеем х – у = 25.

Подбирать можно долго, но в конечном итоге ряд примет вид, -

х – у = 1, 9, 25, 49, 81, ….

Рассмотрим вариант II.

Введём в уравнение (1) новые переменные

(2α + 2к + 1) 2 = (2β + 2к) 2 + (2γ + 2к + 1) 2 .

Сократим на меньшее переменное 2 β, -

(2α – 2β + 2к + 1) 2 = (2α – 2β + 2к+1) 2 + (2к) 2 .

Сократим на меньшее переменное 2α – 2β, –

(2α – 2γ + 2ƒ + 2к + 1) 2 = (2ƒ + 2к + 1) 2 + (2к) 2 . (4)

2α – 2γ = х – z и подставим в уравнение (4).

(х – z + 2ƒ + 2к + 1) 2 = (2ƒ + 2к + 1) 2 + (2к) 2

(х – z) 2 + 2(2ƒ + 2к + 1)(х – z) + (2ƒ + 2к + 1) 2 = (2ƒ + 2к + 1) 2 + (2к) 2 (х – z) 2 + 2(2ƒ + 2к + 1)(х – z) – (2к) 2 = 0

При ƒ = 3, к = 4, имеем х – z = 2.

При ƒ = 8, к = 14, имеем х – z = 8.

При ƒ = 3, к = 24, имеем х – z = 18.

х – z = 2, 8, 18, 32, 50, ….

Нарисуем трапецию, -

Напишем формулу.

где n=1, 2,... ∞.

Случай III расписывать не будем, – нет там решений.

Для условия II набор троек будет таким:

Уравнение (1) представлено в виде х 2 = z 2 + у 2 для наглядности.

Для условия I набор троек будет таким:

В общей сложности расписано 9 столбцов троек, по пять троек в каждом. И каждый из представленных столбцов можно писать до ∞.

В качестве примера рассмотрим тройки последнего столбца, где х – у = 81.

Для величин х распишем трапецию, -

Напишем формулу, -

Для величин у распишем трапецию, -

Напишем формулу, -

Для величин z распишем трапецию, -

Напишем формулу, -

Где n = 1 ÷ ∞.

Как и обещано, ряд троек при х – у = 81 летит в ∞.

Была попытка для случаев I и II построить матрицы для величин х, у, z.

Выпишем из последних пяти столбцов величины х из верхних строк и построим трапецию.

Не получилось, а закономерность должна быть квадратичной. Чтобы всё было в ажуре, оказалось, что надо объединить столбцы I и II.

В случае II величины у, z снова поменяем местами.

Объединить удалось по одной причине, – карты хорошо легли в этой задаче, – повезло.

Теперь можно расписать матрицы для х, у, z.

Возьмём из последних пяти столбцов величины х из верхних строк и построим трапецию.

Всё нормально, можно строить матрицы, и начнём с матрицы для z.

Бегом в чуланчик за сундучком.

Итого: Кроме единицы, каждое нечётное число числовой оси участвует в образовании пифагоровых троек равным количеству пар сомножителей образующих данное число N, включая сомножитель 1 х N.

Число N = ℓ 2 , где ℓ - ПЧ, образует одну пифагорову тройку, если ℓ - СЧ, то на сомножителях ℓхℓ тройки не существует.

Построим матрицы для величин х, у.

Начнём работать с матрицей для х. Для этого натянем на неё координатную сетку из задачи по идентификации ПЧ и СЧ.

Нумерация вертикальных рядов нормирована выражением

Первый столбец уберём, т.к.

Матрица примет вид, -

Опишем вертикальные ряды, -

Опишем коэффициенты при "а", -

Опишем свободные члены, -

Составим общую формулу для "х", -

Если провести подобную работу для "у", получим, -

Можно подойти к этому результату и с другой стороны.

Возьмём уравнение, –

а 2 + N = в 2 .

Чуть преобразуем, –

N = в 2 – а 2 .

Возведём в квадрат, –

N 2 = в 4 – 2в 2 а 2 + а 4 .

К левой и правой части уравнения добавим по величине 4в 2 а 2 , -

N 2 + 4в 2 а 2 = в 4 + 2в 2 а 2 + а 4 .

И окончательно, –

(в 2 + а 2) 2 = (2ва) 2 + N 2 .

Пифагоровы тройки составляются так:

Рассмотрим пример с числом N = 117.

1 х 117 = 117, 3 х 39 = 117, 9 х 13 = 117.

Вертикальные столбцы таблицы 2 пронумерованы величинами в – а, тогда как вертикальные столбцы таблицы 3 пронумерованы величинами х – у.

х – у = (в – а) 2 ,

х = у + (в – а) 2 .

Составим три уравнения.

(у + 1 2) 2 = у 2 + 117 2 ,

(у + 3 2) 2 = у 2 + 117 2 ,

(у + 9 2) 2 = у 2 + 117 2 .

х 1 = 6845, у 1 = 6844, z 1 = 117.

х 2 = 765, у 2 = 756, z 2 = 117 (х 2 = 85, у 2 = 84, z 2 = 13).

х 3 = 125, у 3 = 44, z 3 = 117.

Сомножители 3 и 39 не являются взаимно простыми числами, поэтому одна тройка получилась с коэффициентом 9.

Изобразим выше написанное в общих символах, -

В данной работе всё, включая пример на расчёт пифагоровых троек с числом

N = 117, привязано к меньшему сомножителю в - а. Явная дискриминация по отношению к сомножителю в + а. Исправим эту несправедливость, – составим три уравнения с сомножителем в + а.

Вернёмся к вопросу об идентификации ПЧ и СЧ.

Много что было совершено в этом направлении и на сегодняшний день через руки дошла следующая мысль, – уравнения идентификации, да такого чтобы и сомножители определить, не существует.

Допустим найдено соотношение F = а,в (N).

Есть формула

Можно избавиться в формуле F от в и получится однородное уравнение n – ой степени относительно а, т.е. F = а(N).

При любой степени n данного уравнения найдётся число N имеющее m пар сомножителей, при m > n.

И как следствие, однородное уравнение n степени должно иметь m корней.

Да быть такого не может.

В данной работе числа N рассматривались для уравнения х 2 = у 2 + z 2 , когда они находятся в уравнении на месте z. Когда N на месте х, - это уже другая задача.

С уважением Белотелов В.А.

Свойства

Поскольку уравнение x 2 + y 2 = z 2 однородно , при домножении x , y и z на одно и то же число получится другая пифагорова тройка. Пифагорова тройка называется примитивной , если она не может быть получена таким способом, то есть - взаимно простые числа .

Примеры

Некоторые пифагоровы тройки (отсортированы по возрастанию максимального числа, выделены примитивные):

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…

Основываясь на свойствах чисел Фибоначчи , можно составить из них, например, такие пифагоровы тройки:

.

История

Пифагоровы тройки известны очень давно. В архитектуре древнемесопотамских надгробий встречается равнобедренный треугольник, составленный из двух прямоугольных со сторонами 9, 12 и 15 локтей. Пирамиды фараона Снофру (XXVII век до н. э.) построены с использованием треугольников со сторонами 20, 21 и 29, а также 18, 24 и 30 десятков египетских локтей.

См. также

Ссылки

• Е. А. Горин Степени простых чисел в составе пифагоровых троек // Математическое просвещение . - 2008. - В. 12. - С. 105-125.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Пифагоровы числа" в других словарях:

Тройки таких натуральных чисел, что треугольник, длины сторон которого пропорциональны (или равны) этим числам, является прямоугольным, напр. тройка чисел: 3, 4, 5 … Большой Энциклопедический словарь

Тройки таких натуральных чисел, что треугольник, длины сторон которого пропорциональны (или равны) этим числам, является прямоугольным, например тройка чисел: 3, 4, 5. * * * ПИФАГОРОВЫ ЧИСЛА ПИФАГОРОВЫ ЧИСЛА, тройки таких натуральных чисел, что… … Энциклопедический словарь

Тройки натуральных чисел таких, что треугольник, длины сторон которого пропорциональны (или равны) этим числам, является прямоугольным. По теореме, обратной теореме Пифагора (см. Пифагора теорема), для этого достаточно, чтобы они… …

Тройки целых положительных чисел х, у,z, удовлетворяющих уравнению x2+у 2=z2. Все решения этого уравнения, а следовательно, и все П. ч. выражаются формулами х=а 2 b2, y=2ab, z=a2+b2, где а, b произвольные целые положительные числа (а>b). П. ч … Математическая энциклопедия

Тройки таких натуральных чисел, что треугольник, длины сторон к рого пропорциональны (или равны) этим числам, является прямоугольным, напр. тройка чисел: 3, 4, 5 … Естествознание. Энциклопедический словарь

В математике пифагоровыми числами (пифагоровой тройкой) называется кортеж из трёх целых чисел удовлетворяющих соотношению Пифагора: x2 + y2 = z2. Содержание 1 Свойства 2 Примеры … Википедия

Фигурные числа общее название чисел, связанных с той или иной геометрической фигурой. Это историческое понятие восходит к пифагорейцам. Предположительно от фигурных чисел возникло выражение: «Возвести число в квадрат или в куб». Содержание… … Википедия

Фигурные числа общее название чисел, связанных с той или иной геометрической фигурой. Это историческое понятие восходит к пифагорейцам. Различают следующие виды фигурных чисел: Линейные числа числа, не разлагающиеся на сомножители, то есть их… … Википедия

- «Парадокс числа пи» шутка на тему математики, имевшая хождение в среде студентов до 80 х годов (фактически, до массового распространения микрокалькуляторов) и была связана с ограниченной точностью вычислений тригонометрических функций и… … Википедия

- (греч. arithmetika, от arithmys число) наука о числах, в первую очередь о натуральных (целых положительных) числах и (рациональных) дробях, и действиях над ними. Владение достаточно развитым понятием натурального числа и умение… … Большая советская энциклопедия

Книги

• Архимедово лето, или История содружества юных математиков. Двоичная система счисления , Бобров Сергей Павлович. Двоичная система счисления, "Ханойская башня", ход коня, магические квадраты, арифметический треугольник, фигурные числа, сочетания, понятие о вероятностях, лента Мёбиуса и бутылка Клейна.…

Дальше рассмотрим известные способы генерации эффективных пифагоровых троек. Ученики Пифагора были первыми, кто изобрели простой способ генерации пифагоровых троек, используя формулу, части которой представляют пифагорову тройку:

m 2 + ((m 2 − 1)/2) 2 = ((m 2 + 1)/2) 2 ,

Где m — непарное, m >2. Действительно,

4m 2 + m 4 − 2m 2 + 1
m 2 + ((m 2 − 1)/2) 2 = ————————— = ((m 2 + 1)/2) 2 .
4

Аналогичную формулу предложил древнегреческий философ Платон:

(2m ) 2 + (m 2 − 1) 2 = (m 2 + 1) 2 ,

Где m — любое число. Для m = 2,3,4,5 генерируются следующие тройки:

(16,9,25), (36,64,100), (64,225,289), (100,576,676).

Как видим, эти формулы не могут дать все возможные примитивные тройки.

Россмотрим следующий полином, который разкладывается на суму полиномов:

(2m 2 + 2m + 1) 2 = 4m 4 + 8m 3 + 8m 2 + 4m + 1 =
=4m 4 + 8m 3 + 4m 2 + 4m 2 + 4m + 1 = (2m (m +1)) 2 + (2m +1) 2 .

Отсюда следующие формулы для получения примитивных троек:

a = 2m +1 , b = 2m (m +1) = 2m 2 + 2m , c = 2m 2 + 2m + 1.

Эти формулы генерируют тройки, в которых среднее число отличается от наибольшего ровно на единицу, то есть также генерируются не все возможные тройки. Тут первые тройки равняются: (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61).

Чтобы определить способ генерации всех примитивных троек, следует исследовать ихние свойства. Во-первых, если (a,b,c ) — примитивная тройка, то a и b , b и c , а и c — должны быть взаимно простыми. Пусть a и b делятся на d . Тогда a 2 + b 2 — также делится на d . Соответственно, c 2 и c должны делиться на d . То есть, это не есть примитивная тройка.

Во-вторых, среди чисел a , b одно должно быть парным, а другое — непарным. Действительно, если a и b — парные, то и с будет парным, и числа можно поделить по крайней мере на 2. Если они оба непарные, то их можно представить как 2k +1 i 2l +1, где k ,l — некоторые числа. Тогда a 2 + b 2 = 4k 2 +4k +1+4l 2 +4l +1, то есть, с 2 , как и a 2 + b 2 , при делении на 4 имеет остаток 2.

Пусть с — любое число, то есть с = 4k +i (i =0,…,3). Тогда с 2 = (4k +i ) 2 имеет остаток 0 или 1 и не может иметь остаток 2. Таким образом, a и b не могут быть непарными, то есть a 2 + b 2 = 4k 2 +4k +4l 2 +4l +1 и остаток от деления с 2 на 4 должен быть 1, что значит, что с должно быть непарным.

Такие требования к элементам пифагоровой тройки удовлетворяют следующие числа:

a = 2mn , b = m 2 − n 2 , c = m 2 + n 2 , m > n , (2)

Где m и n — взаимно простые с разной парностью. Впервые эти зависимости стали известными из трудов Эвклида, который жил 2300 р. назад.

Докажем справедливость зависимостей (2). Пусть а — парное, тогда b и c — непарные. Тогда c + b i c − b — парные. Их можно представить как c + b = 2u и c − b = 2v , где u ,v — некоторые целые числа. Поэтому

a 2 = с 2 − b 2 = (c + b )(c − b ) = 2u ·2v = 4uv

И поэтому (a /2) 2 = uv .

Можно доказать от противного, что u и v — взаимно простые. Пусть u и v — делятся на d . Тогда (c + b ) и (c − b ) делятся на d . И поэтому c и b должны делиться на d , а это противоречит условию к пифагоровой тройке.

Так как uv = (a /2) 2 и u и v — взаимно простые, то несложно доказать, что u и v должны быть квадратами каких-то чисел.

Таким образом, есть положительные целые числа m и n , такие что u = m 2 и v = n 2 . Тогда

а 2 = 4uv = 4m 2 n 2 , так что
а = 2mn ; b = u − v = m 2 − n 2 ; c = u + v = m 2 + n 2 .

Так как b > 0, то m > n .

Осталось показать, что m и n имеют разную парность. Если m и n — парные, то u и v должны быть парными, а это невозможно, так как они взаимно простые. Если m и n — непарные, то b = m 2 − n 2 и c = m 2 + n 2 были бы парными, что невозможно, так как c и b — взаимно простые.

Таким образом, любая примитивная пифагорова тройка должна удовлетворять условия (2). При этом числа m и n называются генерирующими числами примитивных троек. Например, пусть имеем примитивную пифагорову тройку (120,119,169). В этом случае

а = 120 = 2·12·5, b = 119 = 144 − 25, и c = 144+25=169,

Где m = 12, n = 5 — генерирующие числа, 12 > 5; 12 и 5 — взаимно простые и разной парности.

Можно доказать обратное, что числа m , n по формулам (2) дают примитивную пифагорову тройку (a,b,c). Действительно,

а 2 + b 2 = (2mn ) 2 + (m 2 − n 2) 2 = 4m 2 n 2 + (m 4 − 2m 2 n 2 + n 4) =
= (m 4 + 2m 2 n 2 + n 4) = (m 2 + n 2) 2 = c 2 ,

То есть (a ,b ,c ) — пифагорова тройка. Докажем, что при этом a ,b ,c — взаимно простые числа от противного. Пусть эти числа делятся на p > 1. Так как m и n имеют разную парность, то b и c — непарные, то есть p ≠ 2. Так как р делит b и c , то р должно делить 2m 2 и 2n 2 , а это невозможно, так как p ≠ 2. Поэтому m , n — взаимно простые и a ,b ,c — тоже взаимно простые.

В таблице 1 показаны все примитивные пифагоровы тройки, сгенерированые по формулам (2) для m ≤10.

Таблица 1. Примитивные пифагоровы тройки для m ≤10

m	n	a	b	c	m	n	a	b	c
2	1	4	3	5	8	1	16	63	65
3	2	12	5	13	8	3	48	55	73
4	1	8	15	17	8	5	80	39	89
4	3	24	7	25	8	7	112	15	113
5	2	20	21	29	9	2	36	77	85
5	4	40	9	41	9	4	72	65	97
6	1	12	35	37	9	8	144	17	145
6	5	60	11	61	10	1	20	99	101
7	2	28	45	53	10	3	60	91	109
7	4	56	33	65	10	7	140	51	149
7	6	84	13	85	10	9	180	19	181

Анализ этой таблицы показывает наличие следующего ряда закономерностей:

• или a , или b делятся на 3;
• одно из чисел a ,b ,c делится на 5;
• число а делится на 4;
• произведение a ·b делится на 12.

В 1971 г. американские математики Тейган и Хедвин для генерации троек предложили такие малоизвестные параметры прямоугольного треугольника, как его рост (height) h = c − b и избыток (success) е = a + b − c . На рис.1. показаны эти величины на некотором прямоугольном треугольнике.

Рисунок 1. Прямоугольный треугольник и его рост и избыток

Название “избыток” является производным от того, что это добавочное расстояние, которое необходимо пройти по катетам треугольника из одной вершины в противоположную, если не идти по его диагонали.

Через избыток и рост стороны пифагорового треугольника можно выразить как:

e 2 e 2
a = h + e , b = e + ——, c = h + e + ——, (3)
2h 2h

Не все комбинации h и e могут отвечать пифагоровым треугольникам. Для заданого h возможные значения e — это произведения некоторого числа d . Это число d имеет название прироста и относится к h следующим образом: d — это наименьшее положительное целое число, квадрат которого делится на 2h . Так как e кратное d , то оно записывается как e = kd , где k — положительное целое.

С помощью пар (k ,h ) можно сгенерировать все пифагоровы треугольники, включая непримитивные и обобщенные, следующим образом:

(dk ) 2 (dk ) 2
a = h + dk , b = dk + ——, c = h + dk + ——, (4)
2h 2h

Причем тройка является примитивной, если k и h — взаимно простые и если h =±q 2 при q — непарном.
Кроме того, это будет именно пифагорова тройка, если k > √2·h /d и h > 0.

Чтобы найти k и h из (a ,b ,c ), выполняют следующие действия:

• h = c − b ;
• записывают h как h = pq 2 , где p > 0 и такое, что не является квадратом;
• d = 2pq если p — непарное и d = pq , если p — парное;
• k = (a − h )/d .

Например, для тройки (8,15,17) имеем h = 17−15 = 2·1, так что p = 2 и q = 1, d = 2, и k = (8 − 2)/2 = 3. Так что эта тройка задается как (k ,h ) = (3,2).

Для тройки (459,1260,1341) имеем h = 1341 − 1260 = 81, так что p = 1, q = 9 и d = 18, отсюда k = (459 − 81)/18 = 21, так что код этой тройки равняется (k ,h ) = (21, 81).

Задание троек с помощью h и k имеет ряд интересных свойств. Параметр k равняется

k = 4S /(dP ), (5)

Где S = ab /2 — площадь треугольника, а P = a + b + c — его периметр. Это следует из равенства eP = 4S , которое выходит из теоремы Пифагора.

Для прямоугольного треугольника e равняется диаметру вписаной в треугольник окружности. Это выходит из того, что гипотенуза с = (а − r )+(b − r ) = a + b − 2r , где r — радиус окружности. Отсюда h = c − b = а − 2r и е = a − h = 2r .

Для h > 0 и k > 0, k является порядковым номером троек a -b -c в последовательности пифагоровых треугольников с ростом h . Из таблицы 2, где представлено несколько вариантов троек, сгенерированых парами h , k , видно, что с увеличением k возрастают величины сторон треугольника. Таким образом, в отличии от классической нумерации, нумерация парами h , k имеет больший порядок в последовательностях троек.

Таблица 2. Пифагоровы тройки, сгенерированые парами h, k.

h	k	a	b	c	h	k	a	b	c
2	1	4	3	5	3	1	9	12	15
2	2	6	8	10	3	2	15	36	39
2	3	8	15	17	3	3	21	72	75
2	4	10	24	26	3	4	27	120	123
2	5	12	35	37	3	5	33	180	183

Для h > 0, d удовлетворяет неравенство 2√h ≤ d ≤ 2h , в котором нижняя граница достигается при p = 1, а верхняя — при q = 1. Поэтому значение d относительно 2√h — это мера того, насколько число h отдаленное от квадрата некоторого числа.

» заслуженного профессора математики Уорикского университета, известного популяризатора науки Иэна Стюарта, посвященной роли чисел в истории человечества и актуальности их изучения в наше время.

Пифагорова гипотенуза

Пифагоровы треугольники имеют прямой угол и целочисленные стороны. У простейшего из них самая длинная сторона имеет длину 5, остальные - 3 и 4. Всего существует 5 правильных многогранников. Уравнение пятой степени невозможно решить при помощи корней пятой степени - или любых других корней. Решетки на плоскости и в трехмерном пространстве не имеют пятилепестковой симметрии вращения, поэтому такие симметрии отсутствуют и в кристаллах. Однако они могут быть у решеток в четырехмерном пространстве и в занятных структурах, известных как квазикристаллы.

Гипотенуза самой маленькой пифагоровой тройки

Теорема Пифагора гласит, что самая длинная сторона прямоугольного треугольника (пресловутая гипотенуза) соотносится с двумя другими сторонами этого треугольника очень просто и красиво: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон.

Традиционно мы называем эту теорему именем Пифагора, но на самом деле история ее достаточно туманна. Глиняные таблички позволяют предположить, что древние вавилоняне знали теорему Пифагора задолго до самого Пифагора; славу первооткрывателя принес ему математический культ пифагорейцев, сторонники которого верили, что Вселенная основана на числовых закономерностях. Древние авторы приписывали пифагорейцам - а значит, и Пифагору - самые разные математические теоремы, но на самом деле мы представления не имеем о том, какой математикой занимался сам Пифагор. Мы даже не знаем, могли ли пифагорейцы доказать теорему Пифагора или просто верили в то, что она верна. Или, что наиболее вероятно, у них были убедительные данные о ее истинности, которых тем не менее не хватило бы на то, что мы считаем доказательством сегодня.

Доказательства Пифагора

Первое известное доказательство теоремы Пифагора мы находим в «Началах» Евклида. Это достаточно сложное доказательство с использованием чертежа, в котором викторианские школьники сразу узнали бы «пифагоровы штаны»; чертеж и правда напоминает сохнущие на веревке подштанники. Известны буквально сотни других доказательств, большинство из которых делает доказываемое утверждение более очевидным.

// Рис. 33. Пифагоровы штаны

Одно из простейших доказательств - это своего рода математический пазл. Возьмите любой прямоугольный треугольник, сделайте четыре его копии и соберите их внутри квадрата. При одной укладке мы видим квадрат на гипотенузе; при другой - квадраты на двух других сторонах треугольника. При этом ясно, что площади в том и другом случае равны.

// Рис. 34. Слева: квадрат на гипотенузе (плюс четыре треугольника). Справа: сумма квадратов на двух других сторонах (плюс те же четыре треугольника). А теперь исключите треугольники

Рассечение Перигаля - еще одно доказательство-пазл.

// Рис. 35. Рассечение Перигаля

Существует также доказательство теоремы с использованием укладки квадратов на плоскости. Возможно, именно так пифагорейцы или их неизвестные предшественники открыли эту теорему. Если взглянуть на то, как косой квадрат перекрывает два других квадрата, то можно увидеть, как разрезать большой квадрат на куски, а затем сложить из них два меньших квадрата. Можно увидеть также прямоугольные треугольники, стороны которых дают размеры трех задействованных квадратов.

// Рис. 36. Доказательство мощением

Есть интересные доказательства с использованием подобных треугольников в тригонометрии. Известно по крайней мере пятьдесят различных доказательств.

Пифагоровы тройки

В теории чисел теорема Пифагора стала источником плодотворной идеи: найти целочисленные решения алгебраических уравнений. Пифагорова тройка - это набор целых чисел a, b и c, таких что

Геометрически такая тройка определяет прямоугольный треугольник с целочисленными сторонами.

Самая маленькая гипотенуза пифагоровой тройки равна 5.

Другие две стороны этого треугольника равны 3 и 4. Здесь

32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.

Следующая по величине гипотенуза равна 10, потому что

62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.

Однако это, по существу, тот же треугольник с удвоенными сторонами. Следующая по величине и по-настоящему другая гипотенуза равна 13, для нее

52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.

Евклид знал, что существует бесконечное число различных вариантов пифагоровых троек, и дал то, что можно назвать формулой для нахождения их всех. Позже Диофант Александрийский предложил простой рецепт, в основном совпадающий с евклидовым.

Возьмите любые два натуральных числа и вычислите:

их удвоенное произведение;

разность их квадратов;

сумму их квадратов.

Три получившихся числа будут сторонами пифагорова треугольника.

Возьмем, к примеру, числа 2 и 1. Вычислим:

удвоенное произведение: 2 × 2 × 1 = 4;

разность квадратов: 22 - 12 = 3;

сумма квадратов: 22 + 12 = 5,

и мы получили знаменитый треугольник 3–4–5. Если взять вместо этого числа 3 и 2, получим:

удвоенное произведение: 2 × 3 × 2 = 12;

разность квадратов: 32 - 22 = 5;

сумму квадратов: 32 + 22 = 13,

и получаем следующий по известности треугольник 5 - 12 - 13. Попробуем взять числа 42 и 23 и получим:

удвоенное произведение: 2 × 42 × 23 = 1932;

разность квадратов: 422 - 232 = 1235;

сумма квадратов: 422 + 232 = 2293,

никто никогда не слышал о треугольнике 1235–1932–2293.

Но эти числа тоже работают:

12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.

В диофантовом правиле есть еще одна особенность, на которую уже намекали: получив три числа, мы можем взять еще одно произвольное число и все их на него умножить. Таким образом треугольник 3–4–5 можно превратить в треугольник 6–8–10, умножив все стороны на 2, или в треугольник 15–20–25, умножив все на 5.

Если перейти на язык алгебры, правило приобретает следующий вид: пусть u, v и k - натуральные числа. Тогда прямоугольный треугольник со сторонами

2kuv и k (u2 - v2) имеет гипотенузу

Существуют и другие способы изложения основной идеи, но все они сводятся к описанному выше. Этот метод позволяет получить все пифагоровы тройки.

Правильные многогранники

Существует ровным счетом пять правильных многогранников. Правильный многогранник (или полиэдр) - это объемная фигура с конечным числом плоских граней. Грани сходятся друг с другом на линиях, именуемых ребрами; ребра встречаются в точках, именуемых вершинами.

Кульминацией евклидовых «Начал» является доказательство того, что может быть только пять правильных многогранников, то есть многогранников, у которых каждая грань представляет собой правильный многоугольник (равные стороны, равные углы), все грани идентичны и все вершины окружены равным числом одинаково расположенных граней. Вот пять правильных многогранников:

тетраэдр с четырьмя треугольными гранями, четырьмя вершинами и шестью ребрами;

куб, или гексаэдр, с 6 квадратными гранями, 8 вершинами и 12 ребрами;

октаэдр с 8 треугольными гранями, 6 вершинами и 12 ребрами;

додекаэдр с 12 пятиугольными гранями, 20 вершинами и 30 ребрами;

икосаэдр с 20 треугольными гранями, 12 вершинами и 30 ребрами.

// Рис. 37. Пять правильных многогранников

Правильные многогранники можно найти и в природе. В 1904 г. Эрнст Геккель опубликовал рисунки крохотных организмов, известных как радиолярии; многие из них по форме напоминают те самые пять правильных многогранников. Возможно, правда, он немного подправил природу, и рисунки не отражают полностью форму конкретных живых существ. Первые три структуры наблюдаются также в кристаллах. Додекаэдра и икосаэдра в кристаллах вы не найдете, хотя неправильные додекаэдры и икосаэдры там иногда попадаются. Настоящие додекаэдры могут возникать в виде квазикристаллов, которые во всем похожи на кристаллы, за исключением того, что их атомы не образуют периодической решетки.

// Рис. 38. Рисунки Геккеля: радиолярии в форме правильных многогранников

// Рис. 39. Развертки правильных многогранников

Бывает интересно делать модели правильных многогранников из бумаги, вырезав предварительно набор соединенных между собой граней - это называется разверткой многогранника; развертку складывают по ребрам и склеивают соответствующие ребра между собой. Полезно добавить к одному из ребер каждой такой пары дополнительную площадку для клея, как показано на рис. 39. Если такой площадки нет, можно использовать липкую ленту.

Уравнение пятой степени

Не существует алгебраической формулы для решения уравнений 5-й степени.

В общем виде уравнение пятой степени выглядит так:

ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0.

Проблема в том, чтобы найти формулу для решений такого уравнения (у него может быть до пяти решений). Опыт обращения с квадратными и кубическими уравнениями, а также с уравнениями четвертой степени позволяет предположить, что такая формула должна существовать и для уравнений пятой степени, причем в ней, по идее, должны фигурировать корни пятой, третьей и второй степени. Опять же, можно смело предположить, что такая формула, если она существует, окажется очень и очень сложной.

Это предположение в конечном итоге оказалось ошибочным. В самом деле, никакой такой формулы не существует; по крайней мере не существует формулы, состоящей из коэффициентов a, b, c, d, e и f, составленной с использованием сложения, вычитания, умножения и деления, а также извлечения корней. Таким образом, в числе 5 есть что-то совершенно особенное. Причины такого необычного поведения пятерки весьма глубоки, и потребовалось немало времени, чтобы в них разобраться.

Первым признаком проблемы стало то, что, как бы математики ни старались отыскать такую формулу, какими бы умными они ни были, они неизменно терпели неудачу. Некоторое время все считали, что причины кроются в неимоверной сложности формулы. Считалось, что никто просто не может как следует разобраться в этой алгебре. Однако со временем некоторые математики начали сомневаться в том, что такая формула вообще существует, а в 1823 г. Нильс Хендрик Абель сумел доказать обратное. Такой формулы не существует. Вскоре после этого Эварист Галуа нашел способ определить, решаемо ли уравнение той или иной степени - 5-й, 6-й, 7-й, вообще любой - с использованием такого рода формулы.

Вывод из всего этого прост: число 5 особенное. Можно решать алгебраические уравнения (при помощи корней n-й степени для различных значений n) для степеней 1, 2, 3 и 4, но не для 5-й степени. Здесь очевидная закономерность заканчивается.

Никого не удивляет, что уравнения степеней больше 5 ведут себя еще хуже; в частности, с ними связана такая же трудность: нет общих формул для их решения. Это не означает, что уравнения не имеют решений; это не означает также, что невозможно найти очень точные численные значения этих решений. Все дело в ограниченности традиционных инструментов алгебры. Это напоминает невозможность трисекции угла при помощи линейки и циркуля. Ответ существует, но перечисленные методы недостаточны и не позволяют определить, каков он.

Кристаллографическое ограничение

Кристаллы в двух и трех измерениях не имеют 5-лучевой симметрии вращения.

Атомы в кристалле образуют решетку, то есть структуру, которая периодически повторяется в нескольких независимых направлениях. К примеру, рисунок на обоях повторяется по длине рулона; кроме того, он обычно повторяется и в горизонтальном направлении, иногда со сдвигом от одного куска обоев к следующему. По существу, обои - это двумерный кристалл.

Существует 17 разновидностей обойных рисунков на плоскости (см. главу 17). Они различаются по типам симметрии, то есть по способам сдвинуть жестко рисунок таким образом, чтобы он точно лег сам на себя в первоначальном положении. К типам симметрии относятся, в частности, различные варианты симметрии вращения, где рисунок следует повернуть на определенный угол вокруг определенной точки - центра симметрии.

Порядок симметрии вращения - это то, сколько раз можно повернуть тело до полного круга так, чтобы все детали рисунка вернулись на первоначальные позиции. К примеру, поворот на 90° - это симметрия вращения 4-го порядка*. Список возможных типов симметрии вращения в кристаллической решетке вновь указывает на необычность числа 5: его там нет. Существуют варианты с симметрией вращения 2, 3, 4 и 6-го порядков, но ни один обойный рисунок не имеет симметрии вращения 5-го порядка. Симметрии вращения порядка больше 6 в кристаллах тоже не бывает, но первое нарушение последовательности происходит все же на числе 5.

То же происходит с кристаллографическими системами в трехмерном пространстве. Здесь решетка повторяет себя по трем независимым направлениям. Существует 219 различных типов симметрии, или 230, если считать зеркальное отражение рисунка отдельным его вариантом - притом, что в данном случае нет зеркальной симметрии. Опять же, наблюдаются симметрии вращения порядков 2, 3, 4 и 6, но не 5. Этот факт получил название кристаллографического ограничения.

В четырехмерном пространстве решетки с симметрией 5-го порядка существуют; вообще, для решеток достаточно высокой размерности возможен любой наперед заданный порядок симметрии вращения.

// Рис. 40. Кристаллическая решетка поваренной соли. Темные шарики изображают атомы натрия, светлые - атомы хлора

Квазикристаллы

Хотя симметрия вращения 5-го порядка в двумерных и трехмерных решетках невозможна, она может существовать в чуть менее регулярных структурах, известных как квазикристаллы. Воспользовавшись набросками Кеплера, Роджер Пенроуз открыл плоские системы с более общим типом пятикратной симметрии. Они получили название квазикристаллов.

Квазикристаллы существуют в природе. В 1984 г. Даниэль Шехтман открыл, что сплав алюминия и марганца может образовывать квазикристаллы; первоначально кристаллографы встретили его сообщение с некоторым скепсисом, но позже открытие было подтверждено, и в 2011 г. Шехтман был удостоен Нобелевской премии по химии. В 2009 г. команда ученых под руководством Луки Бинди обнаружила квазикристаллы в минерале с российского Корякского нагорья - соединении алюминия, меди и железа. Сегодня этот минерал называется икосаэдрит. Измерив при помощи масс-спектрометра содержание в минерале разных изотопов кислорода, ученые показали, что этот минерал возник не на Земле. Он сформировался около 4,5 млрд лет назад, в то время, когда Солнечная система только зарождалась, и провел большую часть времени в поясе астероидов, обращаясь вокруг Солнца, пока какое-то возмущение не изменило его орбиту и не привело его в конце концов на Землю.

// Рис. 41. Слева: одна из двух квазикристаллических решеток с точной пятикратной симметрией. Справа: атомная модель икосаэдрического алюминиево-палладиево-марганцевого квазикристалла

Изучение свойств натуральных чисел привело пифагорейцев к еще одной «вечной» проблеме теоретической арифметики (теории чисел) - проблеме, ростки которой пробивались задолго до Пифагора в Древнем Египте и Древнем Вавилоне, а общее решение не найдено и поныне. Начнем с задачи, которую в современных терминах можно сформулировать так: решить в натуральных числах неопределенное уравнение

Сегодня эта задача именуется задачей Пифагора , а ее решения - тройки натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению (1.2.1), - называются пифагоровыми тройками . В силу очевидной связи теоремы Пифагора с задачей Пифагора последней можно дать геометрическую формулировку: найти все прямоугольные треугольники с целочисленными катетами x , y и целочисленной гипотенузой z .

Частные решения задачи Пифагора были известны в глубокой древности. В папирусе времен фараона Аменемхета I (ок. 2000 до н. э.), хранящемся в Египетском музее в Берлине, мы находим прямоугольный треугольник с отношением сторон (). По мнению крупнейшего немецкого историка математики М. Кантора (1829 - 1920), в Древнем Египте существовала особая профессия гарпедонаптов - «натягивателей веревок», которые во время торжественной церемонии закладки храмов и пирамид размечали прямые углы с помощью веревки, имеющей 12 (= 3 + 4 + 5) равноотстоящих узлов. Способ построения прямого угла гарпедонаптами очевиден из рисунка 36.

Надо сказать, что с Кантором категорически не согласен другой знаток древней математики - ван дер Варден, хотя сами пропорции древнеегипетской архитектуры свидетельствуют в пользу Кантора. Как бы то ни было, сегодня прямоугольный треугольник с отношением сторон называется египетским .

Как отмечалось на с. 76, сохранилась глиняная табличка, относящаяся к древневавилонской эпохе и содержащая 15 строк пифагоровых троек. Помимо тривиальной тройки, получаемой из египетской (3, 4, 5) умножением на 15 (45, 60, 75), здесь есть и весьма сложные пифагоровы тройки, такие, как (3367, 3456, 4825) и даже (12709, 13500, 18541)! Нет никаких сомнений, что эти числа были найдены не простым перебором, а по неким единым правилам.

И тем не менее вопрос об общем решении уравнения (1.2.1) в натуральных числах был поставлен и решен только пифагорейцами. Общая постановка какой бы то ни было математической задачи была чужда как древним египтянам, так и древним вавилонянам. Только с Пифагора начинается становление математики как дедуктивной науки, и одним из первых шагов на этом пути было решение задачи о пифагоровых тройках. Первые решения уравнения (1.2.1) античная традиция связывает с именами Пифагора и Платона. Попробуем реконструировать эти решения.

Ясно, что уравнение (1.2.1) Пифагор мыслил не в аналитической форме, а в виде квадратного числа , внутри которого нужно было отыскать квадратные числа и . Число естественно было представить в виде квадрата со стороной y на единицу меньше стороны z исходного квадрата, т. е. . Тогда, как легко видеть из рисунка 37 (именно видеть!), для оставшегося квадратного числа должно выполняться равенство . Таким образом, мы приходим к системе линейных уравнений

Складывая и вычитая эти уравнения, находим решение уравнения (1.2.1):

Легко убедиться в том, что полученное решение дает натуральные числа только при нечетных . Таким образом, окончательно имеем

И т. д. Это решение традиция связывает с именем Пифагора.

Заметим, что система (1.2.2) может быть получена и формально из уравнения (1.2.1). В самом деле,

откуда, полагая , приходим к (1.2.2).

Ясно, что решение Пифагора найдено при достаточно жестком ограничении () и содержит далеко не все пифагоровы тройки. Следующим шагом можно положить , тогда , так как только в этом случае будет квадратным числом. Так возникает система также будет пифагоровой тройкой. Теперь может быть доказана основная

Теорема. Если p и q взаимно простые числа разной четности , то все примитивные пифагоровы тройки находятся по формулам